Arquimedes

Arquimedes

Arquimedes de Siracusa

pintura de Domenico Fetti (1620)
Nascimento c. 287 a.C.
Siracusa, Sicília, Magna Grécia
Morte c. 212 a.C.
Siracusa, Sicília, Magna Grécia
Ocupação Inventor , Físico,matemático, filósofo e engenheiro.
Principais interesses Astronomia, Matemática, Engenharia, Física
Idéias notáveis Alavanca, Hidrostática

Arquimedes (em grego Ἀρχιμήδης) foi um matemático, físico e inventor grego. Foi um dos mais importantes cientistas e matemáticos da Antiguidade e um dos maiores de todos os tempos. Ele fez descobertas importantes em geometria e matemática, como por exemplo um método para calcular o número π (razão entre o perímetro de uma circunferência e seu diâmetro) utilizando séries. Este resultado constitui também o primeiro caso conhecido do cálculo da soma de uma série infinita. Ele inventou ainda vários tipos de máquinas, quer para uso militar, quer para uso civil. No campo da Física, ele contribuiu para a fundação da Hidrostática, tendo feito, entre outras descobertas, o famoso princípio que leva o seu nome. Ele descobriu ainda o princípio da alavanca e a ele é atribuída a citação: "Dêem-me uma alavanca e um ponto de apoio e eu moverei o mundo".

Hoje conhecemos muito pouco sobre a vida de Arquimedes e sobre a sua obra, já que muitos dos documentos originais foram destruídos. No entanto os romanos tinham muita admiração por ele e alguns historiadores deixaram textos em que descreviam aquilo que na sua época ainda se conhecia sobre a sua vida e obra. Apesar de que muitos desses textos são sobretudo lendas, o pouco que se sabe sobre Arquimedes teve uma importância decisiva no surgimento da ciência moderna, tendo influenciado, entre outros, Galileu Galilei e Isaac Newton.

Biografia
A maioria dos detalhes da vida de Arquimedes são desconhecidos. Sabe-se que nasceu em Siracusa, na época uma cidade-estado da Magna Grécia cerca de 287 a.C. Seu pai foi um astrônomo chamado Fídias, do qual nada se conhece. Quando jovem, estudou em Alexandria, o centro do saber da época, com Cônon, um dos discípulos de Euclides. Embora na Antiguidade não houvesse clara distinção entre matemáticos (geómetras), físicos (cientistas naturais) e filósofos, Arquimedes destacou-se ao longo da sua vida principalmente como inventor e matemático.

Arquimedes morreu após a tomada de Siracusa durante a Segunda Guerra Púnica, cerca do ano 212 a.C.. Foi morto por engano por um soldado romano, apesar dos soldados terem ordens explícitas para defendê-lo, já que os romanos tinham uma enorme admiração por ele. Diz-se que quando os soldados romanos invadiram a praia de Siracusa, encontraram um velho senhor - o próprio Arquimedes - desenhando círculos na areia. Sem imaginar que esse era o génio responsável pela criação das poderosas armas sicilianas, assassinaram-no quando ele se negou a obedecer a suas ordens, porque não queria ver perturbado o raciocínio que seguia nesse momento. De acordo com o seu desejo, a sua sepultura foi decorada com o desenho de uma esfera dentro de um cilindro, que fazia parte de uma das suas demonstrações matemáticas favoritas.

[editar] Obra e pensamento de Arquimedes
Acreditava que nada do que existe é tão grande que não possa ser medido. Aperfeiçoou, pois, o sistema grego de numeração, criando uma notação cômoda para os números muito grandes, semelhante ao actual sistema exponencial. As suas invenções engenhosas de máquinas de carácter utilitário e bélico fizeram-no famoso.

Em mecânica, são atribuídas a ele algumas invenções tais como a rosca sem fim, a roda dentada, a roldana móvel, a alavanca. Alguns historiadores dizem que ele teria criado dispositivos como a máquina de Antikythera.

Hidrostática: "Eureka! Eureka!"
Em Física, no seu "Tratado dos Corpos Flutuantes", estabeleceu as leis fundamentais da Estática e da Hidrostática. Um dos princípios fundamentais da hidrostática é assim enunciado: "Todo corpo mergulhado total ou parcialmente em um fluido sofre uma impulsão vertical, dirigido de baixo para cima, igual ao peso do volume do fluido deslocado, e aplicado no centro de impulsão."

O centro do impulsão é o centro de gravidade do volume que corresponde à porção submersa do corpo. Isto quer dizer que, para o objecto flutuar, o peso da água deslocada pelo objecto tem de ser maior que o próprio peso do objecto.

Conta-se que certa vez, Hierão, rei de Siracusa, no século III a.C. havia encomendado uma coroa de ouro, para homenagear uma divindade que supostamente o protegera em suas conquistas, mas foi levantada a acusação de que o ourives o enganara, misturando o ouro maciço com prata em sua confecção. Para descobrir, sem danificar o objeto, se o seu interior continha uma parte feita de prata, Hierão pediu a ajuda de Arquimedes. Ele pôs-se a procurar a solução para o problema, a qual lhe ocorreu durante um banho. A lenda afirma que Arquimedes teria notado que uma quantidade de água correspondente ao seu próprio volume transbordava da banheira quando ele entrava nela e que, utilizando um método semelhante, poderia comparar o volume da coroa com os volumes de iguais pesos de prata e ouro: bastava colocá-los em um recipiente cheio de água, e medir a quantidade de líquido derramado. Feliz com essa fantástica descoberta, Arquimedes teria saído à rua nu, gritando "Eureka! Eureka!" ("Encontrei! Encontrei!"').

O autor mais antigo conhecido a descrever essa história foi Marcus Vitruvius Pollio, um arquiteto romano do século I a.C., em sua obra De architetura. Vitruvius não viveu na época de Arquimedes e sim dois séculos depois, portanto as suas palavras não constituem relato de primeira mão, e não se sabe em que tipo de fonte ele se baseou. O método atribuído por ele a Arquimedes não seria, no entanto, adequado, por causa dos erros introduzidos pela tensão superficial do líquido.

Muitos autores antigos perceberam as dificuldades de se utilizar tal método. Um deles foi Galileu Galilei, que comentou sobre isso em um pequeno trabalho chamado La bilancetta ("A balancinha"). Galileu suspeitava que Arquimedes teria utilizado outro método, empregando pesagens (balança hidrostática) e não medidas de líquido derramado. Em 1891, o francês Marcellin Berthelot encontrou um texto do início da era cristã que confirmava a conjectura de Galileu, pois atribuía a Arquimedes esse segundo método. Os argumentos e documentos estudados por Berthelot reforçam a idéia de que Arquimedes teria utilizado um método de pesagens no ar e na água e não o método de derramamento de água descrito por Vitruvius.






Arquimedes. Criações bélicas
Na Segunda Guerra Púnica, contra o poderoso exército e marinha romanos, comandados pelo Cônsul Marco Cláudio Marcelo, Arquimedes teria criado aparatos, como:

Catapultas de grande alcance para lançar blocos de pedra sobre as galeras inimigas;
Durante quase três anos, as máquinas de guerra de sua invenção que lançavam dardos e pedras de até 150 quilogramas teriam sido as principais responsáveis pelas derrotas impostas pelos gregos ao exército de Marcelo, general romano que sitiava Siracusa.

Um enorme jogo de espelhos planos, formados pelos escudos de bronze dos soldados gregos, após polimento, que direcionavam a luz do Sol para um mesmo ponto de um navio por vez, afim de incendiá-lo. Não há comprovações históricas de que esse facto realmente ocorreu.
Tentativas de repetir este feito foram feitas mas produziram resultados inconclusivos. No programa "Caçadores de Mitos", estudantes do Massachusetts Institute of Technology conseguiram um princípio de incêndio em uma embarcação desde que ela ficasse estacionada por dez minutos no mesmo local.

Gigantescos guindastes que elevavam a proa dos navios romanos, afundando-os pela popa;
Plutarco conta que se instalou tamanho temor e angústia entre as tropas romanas, que qualquer corda ou pau sobre as muralhas de Siracusa era considerado uma artimanha diabólica de Arquimedes. Marcelo desistiu de tomar Siracusa por assalto e infligiu-lhe um cerco de 3 anos. Em 212 a.C. a cidade rendeu-se.

Criações matemáticas
No tratado "Sobre as Medidas do Círculo", Arquimedes, em um círculo dado, inscreveu e circunscreveu um polígono de 96 lados e obteve a fórmula para o cálculo da área do círculo e, por muitos séculos, o mais acertado valor para π;
No tratado "A Quadratura da Parábola", Arquimedes demonstrou que a área contida por uma parábola (Sp) e uma reta transversal é 4 / 3 da área do triângulo (St) com a mesma base e cujo vértice é o ponto onde a tangente à parábola é paralela à base;
O tratado sobre espirais descreveu a curva hoje conhecida como Espiral de Arquimedes (em coordenadas polares tem equação r = a + bθ) e pela primeira vez determinou a tangente a uma curva que não seja o círculo;
De forma inédita, Arquimedes apresentou os primeiros conceitos de limites e cálculo diferencial, cerca de 19 séculos antes de Newton;
[editar] Outros inventos notáveis
Um mecanismo feito de tubos em hélice, fixos a um eixo inclinado com uma manivela para fazê-lo girar. Tem por escopo elevar a água a um plano superior, conhecido como Parafuso de Arquimedes. É um processo rudimentar, mas que ainda é usado ao longo do rio Nilo. Na década de 1970, nos Países Baixos, foram desenvolvidas bombas do tipo parafuso de Arquimedes movidas por motores elétricos para esgotamento dos polderes em substituição aos moinhos de vento.
Conta Plutarco que Arquimedes arrastou uma das galeras do rei Herão, tão suave e uniformemente como se navegasse em pleno mar, movendo apenas com sua mão a extremidade de um engenho que consistia em um bloco com polias e cordas.
Relata Cícero que Arquimedes construiu um empolgante mecanismo hidráulico, com esferas móveis que representavam o Sol, a Lua e os cinco planetas então conhecidos, podendo-se observar as fases e os eclipses da Lua. Enfim, um pequeno planetário.
São tantos os feitos que Leibnitz se faz apropriado: "Quem entende Arquimedes e Apolônio, admirará menos as realizações dos homens mais célebres de épocas posteriores".

Obras
Relação das principais obras de Arquimedes:

Do Equilíbrio dos Planos
Dos Flutuantes
O Arenário
Da Quadratura da Parábola
Da Esfera e do Cilindro
Da Medida do Círculo
Dos Conóides e Esferóides
Das Espirais
Lemas
Do Método Relativo aos Teoremas Mecânicos

Princípio de Arquimedes


O Princípio de Arquimedes pode ser enunciado como:

"Todo corpo mergulhado num fluido em repouso sofre, por parte do fluido, uma força vertical para cima, cuja intensidade é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo."'
Índice [esconder]
1 Introdução
1.1 Lenda
2 O Princípio de Arquimedes
3 Flutuação de corpos
4 Veja também


[editar] Introdução
É costume identificarmos os fluidos como substâncias que podem escoar. Algumas substâncias, como o vidro, são classificadas como sólidas, pois nos tempos que costumamos observá-las, não notamos a sua fluidez.

Quando um corpo está totalmente ou parcialmente imerso em um fluido em equilíbrio, ficará sob a ação de uma força que dependerá da porção do corpo que está imersa. Isto pode ser verificado se tentarmos submergir uma cortiça ou bola cheia de ar em recipiente com água. Quanto mais profundo estiver o corpo maior será a força que teremos de fazer para mantê-lo naquela profundidade.

A força que faz a cortiça flutuar, parecendo que o corpo possui um peso menor do que o peso real é denominado de empuxo do fluido sobre o corpo. O princípio de Arquimedes quantifica o valor desta força:

Um corpo total ou parcialmente imerso em um fluido sofre um empuxo que é igual ao peso do volume do fluido deslocado pelo corpo. Assim, um corpo imerso na água torna-se mais leve devido a uma força, exercida pelo líquido sobre o corpo, vertical e para cima, que alivia o peso do corpo. Essa força do líquido sobre o corpo, é denominada empuxo ou impulsão.

Resumindo, quando mergulhamos um corpo em um liquido, o corpo desloca uma quantidade de liquido igual a seu volume, e o peso desse volume de liquido deslocado é subtraido do peso do corpo pela força denominada empuxo .

Portanto, num corpo que se encontra imerso em um líquido em repouso, actuam duas forças, ambas com mesmo centro de acção:

peso (devido à interação com o campo gravitacional terrestre)
empuxo (devido à sua interação com o líquido)
Isto quer dizer que, para o objeto flutuar, o peso do líquido deslocado pelo objeto tem de ser maior que o próprio peso do objeto.

[editar] Lenda
Contam os livros que o sábio grego Arquimedes o descobriu enquanto tomava banho, quando procurava responder a Hierão, rei de Siracusa, se sua coroa era realmente de ouro puro.

Conta Vitrúvio, que o rei mandou fazer uma coroa de ouro. Para isso, contratou um artesão, que consoante uma boa quantia de dinheiro e a entrega do ouro necessário, aceitou o trabalho.

Na data prevista o artesão entregou a coroa executada na perfeição, porém, o rei estava desconfiado que o artesão pudesse ter trocado o ouro por prata, pediu a Arquimedes que investigasse o que se passava uma vez que este era muito inteligente.

Um dia, enquanto tomava banho, Arquimedes observou que, à medida que seu corpo mergulhava na banheira, a água transbordava. Concluiu, então, como poderia resolver o problema da coroa e de tão contente que estava saiu da banheira e foi para a rua gritando: "Eureka, Eureka!", que em língua grega quer dizer descobri, achei, encontrei.

Assim, pegou um vasilhame com água e mergulhou um pedaço de ouro, do mesmo peso da coroa, registrando o quanto a água tinha subido. Fez o mesmo com um pedaço de prata. Efectuou o mesmo registro e comparou-o com o anterior concluindo que o ouro não fez a água subir tanto como a prata. O nível da água subiu mais com a prata do que com o ouro.

Por fim, inseriu a coroa na água. Esta elevou o nível da água mais do que o ouro e menos do que a prata. Arquimedes constatou, então, que a coroa havia sido feito com uma mistura de ouro e prata. Pôde-se assim desvendar o mistério da coroa e desmascarar o artesão.

Para compreender, lembre-se que tanto a coroa, quanto o pedaço de ouro e quanto o pedaço de prata utilizados por Arquimedes tinham todos o mesmo peso. Entretanto, como a densidade do ouro é maior do que a da prata, o pedaço de ouro ocupa um volume menor que o pedaço de prata de mesmo peso. Se o pedaço de ouro possui menor volume, então o mesmo deslocou um volume menor de água do que o pedaço de prata. A coroa, sendo feita de uma mistura de ouro e prata, possuía uma densidade média entre o ouro e a prata.


Biografia Arquimedes
Matemático e físico grego. Nascido em Siracusa-Sicília, por volta do ano 287 a.C, o seu nome é originário do grego Arkhimedes. Quando jovem muda-se para Alexandria, centro da atividade matemática, onde continua as aulas de Euclides. De volta à sua pátria, entrega-se por completo aos estudos científicos.

Segundo narração de Plutarco, general romano, refere as passagens relativas à luta travada pelos romanos para a posse da Sicília, especialmente para a conquista da cidade de Siracusa. Quando os Romanos atacaram Siracusa, Arquimedes dirige a defesa da sua cidade, para o que se serve de máquinas de guerra (catapultas, etc.). Após um longo assédio, as tropas de Marcelo entram na cidade. Segundo Plutarco, apesar das ordens de Marcelo para respeitar a vida do sábio, um soldado romano, irritado porque Arquimedes, absorto na resolução de um problema, não responde às suas intimações, mata-o. Cícero, questor da Sicília, encontra o seu túmulo, onde figura uma esfera inscrita num cilindro.

São bastantes as obras de Arquimedes que chegaram até aos nossos dias. Na matemática, destacam-se Da Esfera e do Cilindro, A Medida do Círculo, Dos Esferóides e dos Conóides e Das Linhas Espirais. Nas obras de mecânica há que citar, Do Equilíbrio dos Planos e Dos Corpos Flutuantes. Outros achados importantes, são A Quadratura da Parábola e O Método.

DEdicou-se a aritmética, mecânica e hidrostática. Atribuem-se a Arquimedes a invenção do parafuso sem fim, da espiral ou parafuso de Arquimedes (aparelho para elevar água por meio de um tubo enrolado em hélice à volta de um cilindro giratório sobre o seu eixo), de diversas combinações de roldanas para levantar pesos, da roda dentada, relação da circunferência com o diâmetro (o número pi), a quadratura da parábola, as propriedades das espirais, etc.

Há uma célebre anedota da Antiguidade relacionada com os estudos hidrostáticos de Arquimedes. Trata-se do chamado problema da coroa. Hiero, rei de Siracusa, encomenda uma coroa que paga como se fosse de ouro puro, mas posteriormente suspeita que o ourives fez mistura do ouro com prata. Arquimedes resolve o problema determinando o volume da coroa, para o que a submerge num recipiente completamente cheio de água e pesa de seguida o líquido derramado. Averigua assim a densidade da coroa e calcula a proporção de prata que o desleal ourives utiliza. Conta-se que Arquimedes inventa este procedimento quando, ao se introduzir num recipiente completamente cheio de água para se lavar, parte dela transborda. Sai então do banho a gritar Eureka! (que em grego significa «Achei!»). O clássico enunciado deste princípio, chamado de Arquimedes, é o seguinte: todo o corpo submergido num fluido experimenta um impulso de baixo para cima igual ao peso do fluído que desloca.


DEI-ME UM PONTO DE APOIO E EU MOVEREI O MUNDO!!!

ARQUIMEDES





Arquimedes
Período: aproximadamente 287 - 212 a.C.
Assuntos matemáticos envolvidos:
Álgebra: equação cúbica; sistema de numeração; equações lineares;
Física: hidrostática; bomba de água em parafuso;
Geometria Espacial: áreas de uma esfera; de uma calota esférica; área de uma superfície esférica; volume da esfera;
Geometria Plana: método clássico para cálculo de pi; a quadratura da parábola; aspiral de Arquimedes; fórmula de Heron;


Um dos maiores matemáticos do século III a.C., natural da cidade de Siracusa, localizada na ilha da Sicília. Nasceu aproximadamente no ano 287 a.C. e morreu durante a Segunda Guerra Púnica em Siracusa em 212 a.C.. Era filho de um astrônomo e também adquiriu uma reputação em astronomia.

Arquimedes pode ter estudado por algum tempo em Alexandria com os alunos de Euclides, e manteve comunicação com os matemáticos de lá, como Cônon, Dosite e Eratóstenes.

Diz a lenda que Siracusa resistiu ao sítio de Roma por quase três anos, devido as engenhosas máquinas de guerra inventadas por Arquimedes para deixar seus inimigos à distância. Entre elas: catapultas para lançar pedras; cordas, polias e ganchos para levantar e espatifar os navios romanos; invenções para queimar os navios.

Os trabalhos de Arquimedes exibem grande originalidade, habilidade computacional e rigor nas demonstrações. Há cerca de dez tratados que foram preservados até hoje e há vestígio de outros.

Os tratados sobre geometria plana são: A medida de um Círculo onde Arquimedes inaugurou o método clássico para cálculo de ; A quadratura da parábola constituído de vinte e quatro proposições onde mostra que a área de um segmento parabólico é quatro terços da área do triângulo inscrito de mesma base e de vértice no ponto onde a tangente é paralela à base. Esta dedução envolve a soma de uma série geométrica convergente; Sobre as Espirais composto por vinte e oito proposições onde são dedicadas as propriedades da curva (conhecidas hoje como aspiral de Arquimedes) e cuja equação polar é , em particular, encontra-se a área compreendida pela curva e por dois raios vetores de maneira essencialmente igual ao que seria hoje um exercício de cálculo integral.

Através dos árabes sabemos que a fórmula usual para a área de um triângulo em termos de seus lados, conhecida como fórmula de Heron - onde s é o semiperímetro - era conhecida por Arquimedes vários séculos antes de Heron ter nascido. Papus menciona em seus trabalhos o tratado de Arquimedes Sobre alavancas e Têon cita em seus trabalhos um teorema de Arquimedes encontrado no tratado Sobre a Teoria dos Espelhos.

Os tratados sobre geometria espacial são: Sobre a Esfera e o Cilindro escrito em dois volumes e constituído de cinqüenta e três proposições trata, entre outras coisas, do teorema que fornece as áreas de uma esfera e de uma calota esférica. Mostra que a área de uma superfície esférica é exatamente dois terços da área da superfície total do cilindro circular reto circunscrito a ela e que o volume da esfera é exatamente dois terços do volume do mesmo cilindro. O livro II inclui o problema de seccionar uma esfera com um plano de maneira a obter dois segmentos esféricos cujos volumes estejam numa razão dada. Esse problema leva a uma equação cúbica onde é feita uma discussão relativa às condições sob as quais a cúbica pode ter uma raiz real positiva.

Arquimedes escreveu pequenas obras sobre aritmética, uma delas é O contador de areia, que trata de uma curiosa questão: como determinar a quantidade de grãos de areia capaz de preencher uma esfera de centro na Terra e raio alcançando o Sol., ou seja, do tamanho do universo. Nesta obra encontramos observações relacionadas com astronomia, onde Arquimedes utilizou o modelo de universo de Aristarco de Samos, que antecipou a teoria heliocêntrica de Copérnico. Arquimedes vai calculando a quantidade de areia necessária para encher um dedal, um estádio, o volume da Terra e assim por diante, até encher todo o universo. Ao mesmo tempo e paralelamente, vai desenvolvendo um sistema de numeração (que levou a invenção dos logaritmos) capaz de exprimir os valores encontrados neste calculo. Há também o Problema do Gado que envolve oito incógnitas inteiras relacionadas por sete equações lineares e sujeitas ainda a duas condições adicionais a saber, que a soma de certo par de incógnitas um quadrado perfeito e que a soma de outro par determinado de incógnitas é um número triangular. Sem as condições adicionais, os menores valores das incógnitas são números da ordem de milhões; com essas condições, uma das incógnitas deve ser um número com mais que 206 500 dígitos!

Há dois trabalhos de Arquimedes sobre matemática aplicada: Sobre o Equilíbrio de Figuras Planas e Sobre os Corpos Flutuantes. O primeiro deles consta de dois livros e contém vinte e cinco proposições onde mediante um tratamento postulacional, obtêm-se as propriedades elementares dos centróides e se determinam centróides de várias áreas planas, terminando com a do segmento parabólico e a de uma área limitada por uma parábola e duas cordas paralelas. Sobre os Corpos Flutuantes é composto por dois livros com noventa proposições, e representa a primeira aplicação da matemática à hidrostática. O tratado baseia-se em dois postulados, desenvolvendo primeiro as leis familiares da hidrostática e depois considera alguns problemas muito mais difíceis, concluindo com um estudo notável sobre a posição de repouso e estabilidade de um segmento (reto) de parabolóide de revolução mergulhado num fluido.
Arquimedes de Siracusa

287 AC em Siracusa, Sicília

212 AC em Siracusa, Sicília


Demócrito

460-370 AC

Eudoxo

408-355 AC

Arquimedes

287-212 AC

Al-Haitham

965-1040 DC

Oresme

1323-1382 DC

Fermat

1601-1665 DC

Newton

1643-1727 DC

Leibniz

1646-1716 DC

Cauchy

1789-1857 DC

Arquimedes, filho do astrônomo Fídeas, era nativo de Siracusa, na Sicília. Há relatos de sua visita ao Egito, onde inventou um sistema de bombeamento chamado Parafuso de Arquimedes, em uso ainda hoje.

Há indícios muito fortes de que em sua juventude, Arquimedes tenha estudado com os sucessores de Euclides, em Alexandria. Com certeza ele era completamente familiarizado com a Matemática lá desenvolvida, conhecendo pessoalmente os matemáticos daquela região. Ele mesmo mandava alguns de seus resultados para Alexandria com mensagens pessoais.

No prefácio de Sobre espirais Arquimedes nos conta uma história curiosa acerca de seus amigos em Alexandria. Ele tinha o hábito de mandar o texto de seus últimos teoremas, mas sem as demonstrações. Aparentemente alguém em Alexandria estava roubando os resultados de Arquimedes e afirmando que eram seus. Na última vez que fez isso, enviou dois resultados falsos...

... aqueles que afirmam descobrir tudo, mas não produzem provas de suas afirmações, podem estar enganados fingindo descobrir o impossível.
De fato, existem inúmeras referências a Arquimedes nos escritos de sua época, dada a reputação quase sem par que ele ganhou neste período. Curiosamente a razão para isso não era um interesse generalizado em Matemática, mas sim nas máquinas que inventou para serem usadas na guerra. Estas armas foram particularmente eficientes na defesa de Siracusa contra os Romanos, liderados por Marcelo.

Escreve Plutarco:

... quando Arquimedes começou a manejar suas máquinas, ele de uma só vez atirou contra as forças terrestres todos os tipos de mísseis, e imensas massas de rocha que caíram com barulho e violência inacreditáveis, contra as quais nenhum homem poderia resistir em pé ...
Outras invenções de Arquimedes, como a polia composta, também colaboraram para que sua fama se perpetuasse. Novamente citando Plutarco:

[Arquimedes] afirmou [em uma carta ao Rei Hierão] que, dada uma força, qualquer peso poderia ser movido, e até mesmo se gabando, disse que se houvesse outra Terra, esta poderia ser movida. Hierão maravilhou-se com isto e pediu uma demonstração prática. Arquimedes tomou um dos navios da frota do rei - que não podia ser movido a não ser por muitos homens - carregou-o com muitos passageiros e lotou-o de carga. Arquimedes colocou-se a distância e puxou as polias, movendo o navio em linha reta suavemente, como se estivesse no mar.
Mesmo tendo Arquimedes obtido fama por suas invenções mecânicas, ele acreditava que a Matemática em sua forma mais pura era a única coisa que valia a pena.

As conquistas de Arquimedes são de tirar o fôlego. Ele é considerado por muitos historiadores como um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Ele chegou a aperfeiçoar um método de integração que permitia calcular áreas, volumes e áreas de superfícies de muitos corpos.

Arquimedes foi capaz de aplicar o método da exaustão, que é uma forma primitiva de integração, para obter uma vasta gama de resultados importantes, alguns dos quais chegaram até os dias de hoje.

O tratado Sobre equilíbrios planos aborda os princípios fundamentais da mecânica, usando métodos geométricos. Arquimedes descobriu teoremas fundamentais a respeito do centro de gravidade de figuras planas, todos constantes deste trabalho. Em particular ele encontra, no livro 1, o centro de gravidade do paralelogramo, do triângulo e do trapézio.

O livro 2 é inteiramente devotado a encontrar o centro de gravidade de um segmento de parábola. Na Quadratura da parábola Arquimedes encontra a área de um segmento de parábola formado pelo corte de uma corda qualquer.

No primeiro volume de Sobre a esfera e o cilindro Arquimedes mostra que a superfície de uma esfera é quatro vezes a do grande círculo, acha a área de qualquer segmento da esfera, mostra que o volume de uma esfera é dois terços do volume do cilindro circunscrito, e que a superfície da esfera é dois terços da superfície do cilindro circunscrito, incluindo-se as bases.

Em Sobre espirais Arquimedes define uma espiral e estabelece as propriedades fundamentais relacionando o comprimento do vetor raio com os ângulos de revolução que geram as espirais. Ele também apresenta resultados sobre tangentes às espirais, bem como demonstra como calcular áreas de partes da espiral.

Em Sobre conóides e esferóides Arquimedes examina os parabolóides de revolução, hiperbolóides de revolução e esferóides obtidos pela rotação de uma elipse em torno de um de seus eixos.

Sobre corpos flutuantes é o trabalho onde Arquimedes estabelece os princípios básicos da Hidrostática. Seu teorema mais famoso - que dá o peso de um corpo imerso em um líquido - chamado Princípio de Arquimedes, consta deste trabalho.

Em Medidas do círculo Arquimedes mostra que o valor exato de situa-se entre 310/71 e 31/7. Ele obteve este resultado circunscrevendo e inscrevendo um círculo com polígonos regulares com 96 lados!

O Contador de areia é um trabalho memorável em que Arquimedes propõe um sistema numérico capaz de expressar números até 8x1016 (em notação moderna). Seu argumento é de que este número seria suficiente para contar o número de grãos de areia do Universo. Bem, naturalmente Arquimedes enfrentou o problema anterior: o tamanho do Universo. Quando cita resultados acerca do tamanho do Universo, ele usa resultados de Euxodo, Fídias (seu pai) e Aristarco.

Há referências a outros trabalhos de Arquimedes, que estão hoje perdidos. Pappus refere-se a um trabalho de Arquimedes sobre poliedros semi-regulares e o próprio Arquimedes refere-se a um trabalho sobre o sistema numérico proposto no Contador de areia. Pappus também menciona um tratado sobre balanças e alavancas, e Theon menciona um tratado sobre espelhos.

Arquimedes foi morto em 212 AC durante a captura de Siracusa pelos Romanos na segunda guerra Púnica, depois que todos seus esforços para manter os romanos na baía com suas máquinas de guerra falharam.


O tratado O Método encontra-se na forma de uma carta endereçada a Eratóstenes e é importante devido às informações que fornece sobre o método que Arquimedes usava para descobrir muitos de seus teoremas. Arquimedes o usava de maneira experimental para descobrir resultados que ele então tratava de colocar em termos rigorosos mediante o método de exaustão.

Atribuem-se dois outros trabalhos perdidos a Arquimedes: Sobre o Calendário e Sobre a Construção de Esferas. Neste último havia a descrição de um planetário construído por ele para mostrar os movimentos do Sol, da Lua e dos cinco planetas conhecidos em seu tempo. Provavelmente o mecanismo era acionado pela água.

A invenção mecânica de Arquimedes mais conhecida é a bomba de água em parafuso, construída por ele para irrigar campos, drenar charcos e retirar água de porões da navios. O engenho ainda hoje é utilizado no Egito.



Imagina-te a andar por uma rua, quando, de repente, sai a correr de uma casa um homem nu e molhado a gritar Eureka, Eureka! Isto aconteceu em Siracusa, uma colônia grega, há mais de 2200 anos atrás, e o nome do «maluco» em questão era Arquimedes. Na realidade, a descoberta fez dele um gênio. Foi julgado nos tribunais gregos como um arruaceiro, mas, após vários e longos debates, os juizes da cidade resolveram absolvê-lo, pois ele havia descoberto algo realmente importante.

Este Arquimedes tinha nascido em Siracusa, Sicília em 287 a.C., e foi educado em Alexandria, no Egito. Dedicou-se à Matemática desde sempre, mas mais especialmente aos estudos da Geometria.

Muito jovem começou a distinguir-se pelos seus trabalhos científicos. Quando regressou a Siracusa dedicou-se ao estudo da Geometria e da Mecânica, conseguindo descobrir princípios científicos e fazer aplicações que ainda hoje o tornam conhecido entre muitos.

Embora Arquimedes seja mais famoso pelo princípio da Hidrostática, talvez sejam mais notáveis as suas investigações sobre a quadratura do círculo, que vem a ser a descoberta da relação entre a circunferência e o seu diâmetro.

Na Hidrostática, o "Princípio de Arquimedes" deve ser considerado uma importante descoberta pois determinou grande adiantamento no estudo das ciências físicas que produziram felizes resultados. O seu princípio é hoje utilizado nas ciências naturais, Farmácia e no nosso quotidiano especialmente como tomamos banhos de imersão.

Podemos enunciar este Princípio em duas partes:


Todo o corpo submerso em qualquer líquido, desloca desse líquido uma quantidade determinada, cujo volume é exatamente igual ao volume do corpo submerso.
O corpo submerso no líquido "perde" de seu peso uma quantidade igual ao
peso do volume de líquido igual ao volume submerso do corpo.






Arquimedes também inventou a balança, que tem seu nome, e foi o primeiro a determinar
as leis do equilíbrio na balança.
De volta a Siracusa, dedicou toda a sua vida à pesquisa científica. Seu interesse cientifico foi herdado de seu pai que era um famoso astrônomo, Fídias. Isto influenciou, sem dúvida, na sua vocação e formação científica, sem contar que esteve em Alexandria, onde travou amizade com vários mestres alexandrinos.

As maiores contribuições de Arquimedes para a Matemática estão no âmbito da Geometria.
Seus métodos anteciparam o cálculo integral 2.000 anos antes de Newton e Leibniz.

Histórias de Plutarco, Lívio e outros descrevem máquinas inventadas por Arquimedes para
a defesa de Siracusa. Entre estas se incluem a catapulta, a polia combinada e a parede de fogo.

Arquimedes provou, entre muitos outros resultados geométricos, que o volume de uma esfera é
de dois terços do volume de um cilindro circunscrito. Ele considerava esta a sua descoberta mais significativa, pedindo ate mesmo que a representação do cilindro circunscrevendo uma esfera
fosse gravada em sua tumba.



Na produção de Arquimedes revela-se exclusivamente o investigador. Seus escritos são verdadeiras memórias científicas, trabalhos originais, nos quais se dá por conhecido todo oproduzido antes sobre o tema e apresentam-se elementos novos, próprios.

As principais obras de Arquimedes foram sobre:

Os conóides e os esferóides. - Refere-se aos sólidos que hoje designamos elipsóide de revolução, parabolóide de revolução e hiperbolóide de revolução.
As espirais. - É um estudo monográfico de uma curva plana, hoje chamada espiral de Arquimedes, que se obtém por uma simples combinação de movimentos de
rotação e translação.
Entre os resultados, encontra-se um processo para retificar a circunferência.
A medida do círculo. - Contém apenas 3 proposições e é um dos trabalhos que melhor revela a mente matemática de Aristóteles. Em uma ostentação técnica combinam-se admiravelmente a matemática exata e a aproximada, a aritmética e a geometria,
para impulsionar e encaminhar em nova direção o clássico problema
da quadratura do círculo.
Quadratura da Parábola. - Este escrito oferece o primeiro exemplo de quadratura,
isto é, de determinação de um polígono equivalente, de uma figura plana mistilínea:
o segmento da parábola.
O Arenário. - Arquimedes realiza um estudo, no qual intercala um sistema de
numeração próprio, que lhe permite calcular e, sobretudo exprimir quantidades
enormes, e uma série de considerações astronômicas de grande importância
histórica, pois nelas se alude ao sistema heliocêntrico da antiguidade,
devido a Aristarco de Samos.
O equilíbrio dos planos. - É o primeiro tratado científico de estática.
A alavanca, os centros de gravidade de alguns polígonos,
entre outros resultados.
Dos corpos flutuantes. (Livro I e II). - As bases científicas da hidrostática.
Do método relativo aos teoremas mecânicos. - Arquimedes aproxima-se extraordinariamente de nosso conceitos atuais de cálculo integral.
O Stomachion. - É um jogo geométrico, espécie de puzzle, formado por uma série
de peças poligonais que completam um retângulo. 11. O problema dos bois. -
Um problema referente a teoria dos números






Seu fascínio pela Geometria é lindamente descrito por Plutarco.

Freqüentemente Arquimedes era levado ao banho contra sua vontade pelos seus servos, para lavá-lo e limpá-lo, e mesmo lá ele continuava desenhando figuras geométricas - mesmo entre as brasas das chaminés. E enquanto eles o estavam limpando e ungindo com óleos perfumados, ele desenhava linhas com o dedo sobre o óleo, completamente absorto, quase em estado de êxtase e transe, tal o prazer que tinha em estudar Geometria.

Arquimedes descobriu teoremas fundamentais relativos ao centro de gravidade das figuras planas e dos sólidos. Seu teorema mais famoso deduz o peso de um corpo imerso em um líquido, chamado de "Princípio de Arquimedes".

A habilidade de Arquimedes com a mecânica, aliada ao seu conhecimento teórico o habilitaram a construir muitas máquinas engenhosas. Ele passou muito tempo no Egito, onde inventou um dispositivo conhecido como "Parafuso de Arquimedes". É na verdade uma bomba, ainda usada em muitas partes do mundo.

Uma das histórias mais conhecidas a respeito de Arquimedes é a da "Coroa de ouro de Hieron", que vamos contar da seguinte maneira:


Entre o grande número de descobertas realizadas por Arquimedes, é
necessário assinalar a seguinte:

Quando Hieron reinava em Siracusa, propôs oferecer, em um certo templo, uma coroa de
ouro aos deuses imortais. Combinou a confecção da obra com um artesão mediante uma boa
soma de dinheiro e a entrega da quantidade de ouro em peso. O artesão entregou a coroa na data combinada com o Rei, que a achou executada com perfeição, parecendo que contivesse todo o
ouro que lhe havia sido entregue. Sabendo, porém, que o artesão retirara parte do ouro, substituindo-o por um peso equivalente em prata, o rei, indignado diante desse engodo e não tendo em mãos os meios para provar ao artesão sua fraude, encarregou a Arquimedes que se ocupasse da questão e que com sua inteligência encontrasse esses meios.
Um dia em que Arquimedes, preocupado com este assunto, entrou por acaso em uma casa de banhos, percebeu que à medida que entrava na banheira, a água transbordava da mesma.

Esta observação lhe fez descobrir a razão que procurava e, sem mais esperar, pela alegria que este fato lhe produzia, saiu do banho ainda nu e correndo para sua casa, gritava: Eureka! Eureka!, isto é, "encontrei! encontrei!". Sobre a base desta descoberta, tomou, então, duas massas de igual peso que o da coroa: uma de ouro e outra de prata. Mergulhou depois a massa de prata em um vaso, o que fez sair uma quantidade de água igual ao volume dessa massa; tirou, então, a massa e voltou a encher o vaso com uma quantidade de água igual à que se derramara e que se preocupara em medir, de maneira que pode conhecer a quantidade de água que correspondia à massa de prata que introduzira no vaso.

Depois desta experiência, mergulhou igualmente a massa de ouro no vaso cheio de água e,
depois de havê-lo retirado, mediu novamente a água transbordada, encontrando que a massa de
ouro não deslocara tanta água como a de prata e que a diferença para menos era igual à diferença entre os volumes da massa de ouro e da massa de prata em igual peso.
Finalmente, voltou a encher o vaso, mergulhando desta vez a coroa, que deslocou mais água
do que deslocara a massa de ouro de igual peso, porém menos que a massa de prata. Calculando, então, de acordo com estas experiências, em quanto a quantidade de água que a coroa desalojara
era maior que aquela que deslocara a massa de ouro, soube quanta era a prata que fora
misturada ao ouro, mostrando, assim, claramente, a fraude do artesão.

Ele foi morto durante a tomada de Siracusa pelos romanos na segunda Guerra Púnica. Plutarco descreveu assim o episódio de sua morte:

"Conforme quis o destino, Arquimedes estava imóvel trabalhando em algum problema num diagrama, e estando com a mente e os olhos fixos no objeto de sua especulação, ele não percebeu
a entrada dos Romanos nem que a cidade estava sendo tomada. Estando ele assim absorvido
pelo estudo, um soldado inesperadamente veio até ele e ordenou que o acompanhasse.
Ele negou-se a ir até que tivesse resolvido seu problema; o soldado então desembainhou
a espada e o matou."


História


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Arquimedes e a coroa
Por: Elisa Batalha e Silvio Bento

Ilustração: Barbara Mello
Você já reparou que quando você entra em uma banheira ou em uma piscina totalmente cheia, a água transborda?


Como você viu no experimento com camadas de líquidos, alguns objetos afundam. E deslocam a água onde foram imersos. Pense em um elefante caindo na piscina. A quantidade de água que transborda é proporcional à densidade dele.

Para entendermos por que, precisamos do conceito de empuxo ou impulsão. A descoberta desse princípio foi feita por um grande sábio, em uma situação engraçada. Foi assim, como conta a lenda:

Era uma vez um rei. E um sábio. O rei se chamava Hierão, e o sábio, Arquimedes. Os dois viviam em Siracusa, cidade-Estado da Grécia Antiga. O rei mandou fazer uma coroa todinha de ouro, mas ouviu uns boatos de que o ourives não tinha usado apenas ouro para fazer a coroa, e ficou desconfiado. Mas se a coroa era totalmente dourada, e se parecia muito com ouro puro, como fazer então para ter certeza sem destruí-la?

É aqui que entra o sábio. Arquimedes já era renomado na época - quando o termo filósofo era usado para todos os estudiosos e cientistas em geral - e é célebre até hoje por suas descobertas na matemática, física e por diversas invenções. Arquimedes teve uma importância decisiva no surgimento da ciência moderna.

A história mais conhecida de Arquimedes é, porém, como dissemos, uma lenda. O rei consultou o filósofo para resolver o problema da coroa de uma vez por todas – provar se ela era toda de ouro ou não. Estava o sábio grego, um belo dia, a tomar banho numa banheira, entretido com essa questão. De repente, ele teve um vislumbre da solução e saiu correndo, nu (!) pelas ruas da cidade, gritando “Eureka, Eureka!”, que em grego quer dizer “Descobri, descobri!”.

O que ele descobriu foi o que hoje chamamos de "Princípio de Arquimedes" (também chamado de empuxo ou impulsão). A partir dele, podemos afirmar: "um corpo imerso em um líquido irá flutuar, afundar ou ficar neutro de acordo com o peso do líquido deslocado por este corpo". Ou seja, se o peso do líquido deslocado por um objeto for maior que o peso do corpo, ele irá flutuar. Mas se o peso do objeto for superior ao peso do líquido deslocado, o corpo irá afundar. Se for igual ficará no meio do caminho, não afunda nem flutua.

E Arquimedes descobriu isso quando tomava banho em sua banheira, quando percebeu que a quantidade de água que transbordava era igual em volume ao seu próprio corpo.

E assim percebeu como poderia provar a fraude do ourives. Ele observou que massas iguais de prata e de ouro faziam transbordar volumes de água diferentes (porque os dois materiais têm densidades diferentes). Então, ele mergulhou numa bacia cheia de água um bloco de ouro de massa igual à da coroa e mediu o volume de água que transbordou. Fez a mesma coisa com um bloco de prata. O volume de água que transbordou quando mergulhou o bloco de ouro era menor que o volume de água quando mergulhou o bloco de prata. Repetiu a experiência com a coroa e verificou que o volume de água que transbordou era maior que o do bloco de ouro e menor do que o do bloco de prata

Concluiu que a coroa não era de ouro puro e que o ourives a tinha feito misturando os metais. Arquimedes baseou-se no princípio de que o volume ocupado por um determinado sólido é proporcional à sua massa. Ele usou a densidade para provar que a coroa tinha sido feita com uma liga (mistura) de ouro e prata.

O rei não deve ter ficado lá muito satisfeito com o ourives...