Introdução
O problema era conhecido dos antigos gregos e a resposta — negativa — só foi obtida em 1837 pelo matemático francês Pierre Laurent Wantzel que mudou o foco da questão, passando a buscar uma prova de que o problema não teria solução. Wentzel apoiou-se sobretudo nos resultados de Gauss o qual afirmara no seu livro Disquisitiones Arithmeticae (publicado em 1801) que não era possível construir com régua e compasso um polígono regular com nove lados. Como é possível construir um triângulo regular com régua e compasso e como, para um tal triângulo, o ângulo formado pelos segmentos que unem o centro a dois dos seus vértices é de 120º, resulta daqui que o ângulo de 120º não pode ser trissectado somente com régua e compasso. No entanto Gauss nunca publicou uma demonstração do seu enunciado.
Aproximação geométrica
Trissecção aproximadaConsiderando ∠AOB = 2a e ∠HOG = 2x, verifica-se que no triângulo ΔOCF temos que o ângulo ∠OCF = ½(a + x) pois é um ângulo inscrito na circunferência que compreende um arco de medida a + x, e também temos que ∠CFO = ½(a − x) pois ao prolongarmos a bissetriz obtemos um ângulo oposto ao ângulo ∠EOB = a pelo vértice, que por outro lado, ele é ângulo externo ao triângulo ΔOCF não adjacente aos ângulos ∠OCF = ½(a + x) e ∠CFO, então:
Duplicação do cubo
Dobrando o volumeA duplicação do cubo é o problema de geometria que consiste em obter um método para, dada a aresta de um cubo, construir, com régua e compasso, a aresta do cubo cujo volume é o dobro do cubo inicial.
Introdução
Era do conhecimento dos Pitagóricos que dado um quadrado era possível construir um novo quadrado com o dobro de sua área. Tal problema é relatado por Platão em um dos seus diálogos, Ménon[1], que trata do ensino da virtude. Nesse diálogo Sócrates é retratado ensinando um jovem e inculto escravo a duplicar um quadrado.
Trecho do diálogo
Sócrates lecionandoSócrates: - Examina, agora, o que em seguida a estas dúvidas ele irá descobrir, procurando comigo. Só lhe farei perguntas; não lhe ensinarei nada! Observa bem se o que faço é ensinar e transmitir conhecimentos, ou apenas perguntar-lhe o que sabe. (E, ao escravo): Responde-me: não é esta a figura de nosso quadrado cuja área mede quatro pés quadrados?
Escravo: - É.
Sócrates: - A este quadrado não poderemos acrescentar este outro, igual?
Escravo: - Podemos.
'Sócrates: - Que múltiplo do primeiro quadrado é a grande figura inteira?
Escravo: - O quádruplo.
Sócrates: - E devíamos obter o dobro, recordaste? Escravo: - Sim.
Sócrates: - E esta linha traçada de um vértice a outro da cada um dos quadrados interiores não divide ao meio a área de cada um deles?
Escravo: - Divide.
Sócrates: - E não temos assim quatro linhas que constituem uma figura interior?
Escravo: - Exatamente.
Sócrates: - Repara, agora: qual é a área desta figura?
Escravo: - Não sei.
Sócrates: - Vê: dissemos que cada linha nestes quatro quadrados dividia cada um pela metade, não dissemos?
Escravo: - Sim, dissemos.
Sócrates: - Bem; então quantas metades temos aqui?
Escravo: - Quatro.
Sócrates: - E aqui?
Escravo: - Duas.
Sócrates: - E em que relação aquelas quatro estão para estas duas?
Escravo: - O dobro.
Sócrates: - Logo, quantos pés quadrados mede esta superfície?
Escravo: - Oito.
Sócrates: - E qual é seu lado?
Escravo: - Esta linha.
Sócrates: - A linha traçada no quadrado de quatro pés quadrados, de um vértice a outro?
Escravo: - Sim.
Sócrates: - Os sofistas dão a esta linha o nome de diagonal e, por isso, usando esse nome, podemos dizer que a diagonal é o lado de um quadrado de área dupla, exatamente como tu, ó escravo de Mênon, o afirmaste.
Escravo: - Exatamente, Sócrates!
É provável que os gregos tenham então transposto tal problema para as figuras sólidas, começando com o cubo, isto é, encontrar a aresta de um cubo com o dobro do volume de um cubo dado
História
Ruínas em DelosCom relação as origens desse famoso problema existe uma lenda que conta que em 427 a.C. Péricles morrera de peste juntamente com um quarto da população de Atenas. Consternados por essa enorme perda, os habitantes consultaram o oráculo de Apolo em Delos sobre como combater a doença. A resposta foi que o altar de Apolo, que possuía o formato de um cubo, deveria ser duplicado. Prontamente os atenienses dobraram as dimensões do altar mas isso não afastou a peste. O volume fora multiplicado por oito e não por dois. Com essa estória, dada a aresta de um cubo, construir só com régua e compasso a aresta de um segundo cubo tendo o dobro do volume do primeiro, ficou conhecido como problema deliano.
Construções com régua e compasso
Criando um hexágono regular com régua e compassoEm geometria, uma construção com régua e compasso é o desenho geométrico de segmentos de reta ou ângulos usando apenas uma régua e um compasso idealizados ou seja:
A régua pode ser usada para construir um segmento tão longo quanto se queira que contenha dois pontos dados. Particularmente tal régua não é graduada, não podendo ser utilizada para medir;
O compasso pode ser usado para construir a circunferência de centro em um dado ponto A e que passa por um dado ponto B. Assim deve ter pernas tão compridas quanto precisamos.
As construções com régua e compasso são baseadas nos três primeiros postulados dos Elementos de Euclides por isso são também conhecidas por “construções euclidianas”, apesar dos termos “régua” e “compasso” não aparecerem nessa obra.
Arquitas de Tarento
Arquitas de Tarento
Arquitas de Tarento (428 a.C. - 347 a.C.), filósofo e cientista grego, considerado o mais ilustre dos matemáticos pitagóricos. Acredita-se ter sido discípulo de Filolau de Crotona e foi amigo de Platão. Fundou a mecânica e influenciou Euclides. Foi o primeiro a usar o cubo em geometria e a restringir as matemáticas às disciplinas técnicas como a geometria, aritmética, astronomia e acústica. Para resolver o famoso problema da duplicação do cubo (dobrar o seu volume), valeu-se de um modelo tridimensional.
Embora inúmeras obras sobre mecânica e geometria lhe sejam atribuídas, restaram apenas fragmentos cuja preocupação central é a Matemática e a Música.
Arquitas também atuou na política. Os tarentinos o elegeram estratego (governador) sete vezes consecutivas.
Morreu em um naufrágio na costa de Apúlia.
Anaxímenes de Mileto
Anaxímenes.Anaxímenes de Mileto (588-524 a.C.) concordava com Anaxímandro de Mileto quanto ao a-peiron, e com as características desse princípio apontadas por Anaximandro.
Mas postulou que esse a-peiron fosse o Ar.
Foi discípulo e continuador da escola Jônica e escreveu sua obra: “Sobre a natureza”, também em prosa. Dedicou-se especialmente à meteorologia. Foi o primeiro a afirmar que a luz da Lua é proveniente do Sol.
Enquanto Tales sustentava a idéia de que a água é o bloco fundamental de toda a matéria, Anaxímenes dizia que tudo provém do Ar e retorna ao Ar. Era inquieto.
Adágio de Anaxímenes:
"Exatamente como a nossa alma, o ar mantém-nos juntos, de forma que o sopro e o ar abraçam o mundo inteiro..."
A Cosmologia de Anaxímenes
Simplício em seu livro Física nos conta: “Anaxímenes de Mileto, filho de Eurístrates, companheiro de Anaximandro, afirma também que uma só é a natureza subjacente, e diz, como aquele, que é ilimitada, não porém indefinida, como aquele (diz), mas definida, dizendo que ela é Ar. Diferencia-se nas substâncias, por rarefação e condensação. Rarefazendo-se, torna-se fogo; condensando-se, vento, depois, nuvem, e ainda mais, água, depois terra, depois pedras, e as demais coisas provêm destas. Também ele faz eterno o movimento pelo qual se dá a transformação.”
A Terra, acreditava Anaxímenes, foi formada primeiro, e dela, ergueram-se as estrelas, dando a impressão de que estas são rarefações do fogo. A Terra era plana e boiava no Ar. O Sol também era “plano e largo como uma folha” e caminhava através do Ar.
De acordo com uma passagem isolada escrita pelo teólogo sírio Aécio, Anaxímenes pensava que as estrelas eram fixas como “pregos no cristalino”. Ele também alegadamente acreditava que as estrelas não produziam calor por causa de sua grande distância em relação à Terra, o que era uma visão mais acurada do que a de Anaximandro, que considerava as estrelas mais próximas da Terra do que o Sol.
A presunção feita por Anaxímenes de que o Ar estava eternamente em movimento, traz ao pensamento a noção de que o Ar possuía vida – uma crença razoável no contexto primitivo que sempre associou vida com sopro. Há evidências de que Anaxímenes fez analogias entre o Ar-divino que sustenta o Universo e o ar-humano, ou alma, que dá vida aos homens. Sobre isto, Aécio escreve: “Como nossa alma, que é ar, soberanamente nos mantém unidos, assim também todo o cosmo sopro e ar o mantém”.
Tal comparação, entre o macrocosmo e o microcosmo, permitiu a Anaxímenes desenvolver o argumento sobre a existência de uma única entidade – o Ar – a sustentar a diversidade de todas as coisas.
Anaxímenes e a Física Moderna
Anaxímenes diz que as coisas sólidas são ar condensado e que as mais rarefeitas são ar mais rarefeito (assim como a água para Tales, o ar deveria ser meramente uma metáfora do Ar, para Anaxímenes). E dá como exemplo o ar que sai da boca: se assopramos com os lábios mais apertados (fazendo beiço) o ar sai frio, e se "assopramos" com a boca aberta, sai quente.
"A variação quantitativa de tensão da realidade originária dá origem a todas as coisas" é uma forma de se dizer que todas as coisas são diferentes "formas" de Ar original. Isso é muito semelhante à teoria das supercordas, que diz que os quarks (partículas que formam todas as outras, inclusive elétrons, prótons e nêutrons) são como que vibrações de energia: as diferentes partículas seriam mais ou menos como frequências diferentes da vibração da energia (mais ou menos como as notas musicais são vibrações diferentes de um fio; a quarta corda do violão, se tocada enquanto se aperta na primeira casa, faz um dó, na segunda casa, um ré, e assim sucessivamente, porque quanto mais próxima a casa estiver do corpo do violão, maior vai ser a frequência da vibração da corda). Se a teoria das supercordas estiver certa, Anaxímenes também estava. Pois, se chamarmos o Ar de energia, e sabendo que "quente" e "frio" são estados produzidos pela vibração dos elétrons (quanto mais os elétrons vibram, mais quente a coisa que eles compõem está), ele descreveu a teoria há muito tempo, utilizando expressões e imagens diferentes, como em uma analogia. (Para um estudo e análise mais detalhada sobre Anaxímenes cf. SPINELLI, Miguel. Filósofos Pré-Socráticos. Primeiros mestres da filosofia e da ciência grega.
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